Model prasaja kanthi prilaku rumit yaiku kekacauan

Komputer minangka alat sing tambah akeh digunakake dening para ilmuwan kanggo nemokake rahasia sing didhelikake kanthi teliti dening alam. Modeling, bebarengan karo eksperimen lan teori, dadi cara katelu kanggo sinau donya.

Telung taun kepungkur, ing Universitas Silesia, kita miwiti program kanggo nggabungake metode komputer menyang pendhidhikan. Akibaté, akeh bahan didaktik sing apik banget wis digawe, dadi luwih gampang lan luwih jero kanggo sinau akeh topik. Python dipilih minangka alat utama, sing, bebarengan karo kekuwatan perpustakaan ilmiah sing kasedhiya, bisa uga minangka solusi sing paling apik kanggo "eksperimen komputer" kanthi persamaan, gambar utawa data. Salah siji saka implementasine paling menarik saka workbench lengkap Sage [2]. Iku integrasi mbukak saka sistem aljabar komputer karo basa Python, lan uga ngijini sampeyan kanggo langsung muter nggunakake browser web lan salah siji opsi akses bisa liwat layanan maya [3] utawa server komputasi siji kang interaktif. versi artikel iki adhedhasar [4] .

Chaos w ekologi

Ing taun 1 ing Universitas Oxford, ilmuwan Australia Robert May nyinaoni aspek teoretis dinamika demografi. Dheweke ngringkes karyane ing makalah sing muncul ing jurnal Nature kanthi judhul provokatif "Model Matematika Sederhana dengan Dinamika Sangat Kompleks" [XNUMX]. Sajrone pirang-pirang taun, artikel iki dadi salah sawijining karya sing paling akeh dikutip ing ekologi teoretis. Apa sing njalari kasengsem ing karya iki?

Masalah klasik dinamika populasi yaiku ngetung populasi mangsa saka spesies tartamtu, miturut kahanan saiki. Sacara matematis, ekosistem dianggep minangka sing paling gampang, ing ngendi urip siji generasi pedunung mung siji mangsa. Conto sing apik yaiku populasi serangga sing ngalami metamorfosis lengkap ing sawijining mangsa, kayata kupu-kupu. Wektu sacara alami dipérang dadi periode diskrèt2 sing cocog karo siklus urip populasi. Mangkono, persamaan sing njlèntrèhaké ekosistem kuwi alamiah sing disebut wektu diskrèt, i.e. t = 1,2,3... Robert May ngurusi dinamika kasebut, antara liya. Ing pertimbangane, dheweke nyederhanakake ekosistem dadi spesies tunggal sing populasi minangka fungsi kuadrat saka populasi taun sadurunge. Saka ngendi asale model iki?

Persamaan diskrit sing paling gampang sing njlèntrèhaké évolusi populasi yaiku model linier:

ngendi Ni punika turah mbrawah ing mangsa i-th, lan Ni + 1 njlèntrèhaké populasi ing mangsa sabanjuré. Gampang kanggo ndeleng yen persamaan kasebut bisa nyebabake telung skenario. Nalika a = 1, évolusi ora bakal ngganti ukuran populasi, lan <1 ndadékaké punah, lan kasus a> 1 tegese wutah populasi tanpa watesan. Iki bakal nyebabake ora seimbang ing alam. Wiwit kabeh ing alam winates, iku ndadekake pangertèn kanggo nyetel persamaan iki kanggo akun kanggo jumlah winates saka sumber daya. Mbayangno yen hama mangan gandum, sing saben taun persis padha. Yen serangga mung sawetara dibandhingake karo jumlah panganan sing bisa ngasilake, dheweke bisa ngasilake kanthi daya reproduksi lengkap, kanthi matematis ditemtokake kanthi konstanta a> 1. Nanging, nalika jumlah hama mundhak, panganan bakal langka lan kapasitas reproduksi bakal mudhun. Ing kasus kritis, siji bisa mbayangno manawa akeh serangga sing dilahirake supaya padha mangan kabeh gandum sadurunge duwe wektu kanggo ngasilake, lan populasi mati. Model sing nyathet efek akses winates kanggo panganan iki pisanan diusulake dening Verhulst ing taun 1838. Ing model iki, tingkat pertumbuhan ora konstan, nanging gumantung marang kahanan populasi:

Hubungan antarane tingkat wutah a lan Ni kudu nduweni sifat ing ngisor iki: yen populasi mundhak, tingkat wutah kudu ngurangi amarga akses menyang pangan angel. Mesthi, ana akeh fungsi karo sifat iki: iki fungsi ndhuwur-mudhun. Verhulst ngusulake hubungan ing ngisor iki:

ing ngendi a>0 lan konstanta K>0 minangka ciri sumber pangan lan diarani kapasitas lingkungan. Kepiye owah-owahan ing K mengaruhi tingkat pertumbuhan populasi? Yen K mundhak, Ni / K mudhun. Ing siji, iki ndadékaké kanggo kasunyatan sing 1-Ni / K mundak akeh, kang tegese iku mundak akeh. Iki tegese tingkat wutah saya tambah lan populasi saya tambah cepet. Dadi ayo ngowahi model sadurunge (1) kanthi nganggep yen tingkat pertumbuhan owah kaya ing persamaan (3). Banjur kita entuk persamaan

Persamaan iki bisa ditulis minangka persamaan rekursif

ing ngendi xi = Ni / K lan xi + 1 = Ni + 1 / K nuduhake populasi rescaled ing wektu i lan ing wektu i + 1. Persamaan (5) diarani persamaan logistik.

Koyone kanthi modifikasi cilik, model kita gampang dianalisis. Ayo padha mriksa metu. Coba persamaan (5) kanggo parameter a = 0.5 wiwit saka populasi awal x0 = 0.45. Nilai populasi sekuensial bisa dipikolehi kanthi nggunakake persamaan rekursif (5):

x₁= kapak₀(1st₀)

x₂= kapak₁(1st₁)

x₃= kapak₂(1st₂)

Kanggo nggampangake petungan ing (6), kita bisa nggunakake program ing ngisor iki (iku ditulis ing Python lan bisa mbukak, antarane liyane, ing platform Sage. Disaranake sampeyan maca buku http://icse.us.edu .pl/e-book . ), niru model kita:

a = 0.5 x = 0.45 kanggo i ing kisaran (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      print x

Kita ngetung angka xi sing berturut-turut lan sok dong mirsani yen padha cenderung nol. Kanthi nyobi kode ing ndhuwur, iku uga gampang kanggo ndeleng sing iki bener preduli saka nilai awal x0. Iki tegese populasi terus mati.

Ing tataran kapindho analisis, kita nambah nilai parameter a kanggo sembarang nilai ing sawetara ae (1,3). Pranyata banjur urutan xi menyang jumlah tartamtu x * > 0. Interpreting iki saka sudut pandang ekologi, kita bisa ngomong sing ukuran populasi tetep ing tingkat tartamtu, kang ora owah saka mangsa kanggo mangsa. . Wigati dicathet yen nilai x * ora gumantung marang kahanan awal x0. Iki minangka akibat saka upaya ekosistem kanggo stabil - populasi nyetel ukurane kanggo kemampuan kanggo mangan dhewe. Matématis, ngandika sing sistem cenderung kanggo titik tetep stabil, i.e. nyukupi kesetaraan x = f(x) (iki tegese ing wayahe sabanjure kahanane padha karo wayahe sadurunge). Kanthi Sage, kita bisa nggambarake evolusi iki kanthi grafis kanthi ngrancang populasi sajrone wektu.

Efek stabilisasi kasebut dikarepake dening para peneliti, lan persamaan logistik (5) ora bakal narik kawigaten yen ora kaget. Ternyata kanggo nilai parameter tartamtu, model (5) tumindak kanthi cara sing ora bisa ditebak. Kaping pisanan, ana negara périodik lan multiperiodik. Kapindho, saben langkah wektu, populasi owah-owahan ora rata, kaya gerakan acak. Katelu, ana sensitivitas gedhe kanggo kondisi awal: rong negara wiwitan sing meh ora bisa dibedakake nyebabake evolusi populasi sing beda banget. Kabeh fitur kasebut minangka karakteristik prilaku sing meh padha karo gerakan acak lan diarani kekacauan deterministik.

Ayo njelajah properti iki!

Pisanan, ayo nyetel nilai parameter a = 3.2 lan deleng evolusi. Bisa uga kaget yen wektu iki populasi ora tekan siji nilai, nanging loro, sing kedadeyan berturut-turut saben musim kapindho. Nanging, pranyata masalah ora mungkasi ana. Kanthi a = 4, sistem ora bisa diprediksi maneh. Coba deleng gambar (2) utawa kita bakal ngasilake urutan nomer kanthi nggunakake komputer. Asil katon murni acak lan cukup beda kanggo populasi wiwitan rada beda. Nanging, maca sing ati-ati kudu mbantah. Kepiye carane sistem sing diterangake kanthi persamaan deterministik1, sanajan sing prasaja banget, bisa tumindak ora bisa diprediksi? Inggih, mbok.

Fitur sistem iki yaiku sensitivitas sing luar biasa kanggo kondisi awal. Iku cukup kanggo miwiti karo rong kondisi awal sing beda-beda dening siji yuta, lan mung sawetara langkah kita bakal entuk nilai populasi temen beda. Ayo mriksa ing komputer:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] kanggo i ing kisaran (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) nyetak x,y

Punika model prasaja evolusi deterministik. Nanging determinisme iki ngapusi, mung determinisme matematika. Saka sudut pandang praktis, sistem kasebut tumindak ora bisa ditebak amarga kita ora bisa nyetel kahanan awal kanthi matematis. Ing kasunyatan, kabeh ditemtokake kanthi akurasi tartamtu: saben alat ukur nduweni akurasi tartamtu, lan iki bisa nyebabake ketidakpastian praktis ing sistem deterministik sing nduweni sifat kekacauan. Conto model prakiraan cuaca, sing tansah nuduhake sifat kekacauan. Iki sebabe ramalan cuaca jangka panjang dadi ala.

Analisis sistem kacau iku angel banget. Nanging, kita bisa ngatasi akeh misteri kekacauan kanthi gampang kanthi bantuan simulasi komputer. Ayo kita nggambar diagram bifurcation sing diarani, ing ngendi kita nyelehake nilai parameter a ing sumbu abscissa, lan titik tetep stabil saka pemetaan logistik ing sumbu ordinat. Kita entuk poin sing stabil kanthi nyimulake akeh sistem bebarengan lan ngrancang nilai sawise pirang-pirang conto. Nalika sampeyan bisa guess, iki mbutuhake akèh petungan. Ayo nyoba "kasebut kanthi teliti" ngolah nilai ing ngisor iki:

ngimpor numpy minangka np Nx = 300 Sing = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) x = x + np.nol((Na, Nx)) x = np.transpose(x) a=np.linspace(1,4,na) a=a+np.nol((Nx,Na)) kanggo i ing kisaran (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] kanggo a_,x_ ing zip(a.flatten(),x.flatten())] dot(pt, size=1, figsize=(7,5))

Kita kudu entuk sing padha karo gambar (3). Kepiye carane napsirake gambar iki? Contone, kanthi nilai parameter a = 3.3, kita duwe 2 titik tetep stabil (ukuran populasi padha saben musim kapindho). Nanging, kanggo parameter a = 3.5 kita duwe 4 titik konstan (saben mangsa kaping papat populasi duwe nomer padha), lan kanggo parameter a = 3.56 kita duwe 8 titik konstan (saben mangsa kawolu populasi duwe nomer padha). Nanging kanggo parameter a≈3.57, kita duwe akeh titik tetep (ukuran populasi ora bakal bola-bali lan owah-owahan kanthi cara sing ora bisa ditebak). Nanging, karo program komputer, kita bisa ngganti orane katrangan saka parameter a lan njelajah struktur geometris tanpa wates saka diagram iki karo tangan kita dhewe.

Iki mung pucuk gunung es. Ewonan makalah ilmiah wis ditulis babagan persamaan iki, nanging isih ndhelikake rahasia kasebut. Kanthi bantuan simulasi komputer, sampeyan bisa, tanpa nggunakake matematika sing luwih dhuwur, dadi pionir ing jagad dinamika nonlinier. Sampeyan ngajak sampeyan maca versi online sing ngemot rincian babagan akeh sifat menarik saka persamaan logistik lan cara sing menarik kanggo nggambarake.

¹ Hukum deterministik minangka hukum sing masa depan ditemtokake sacara unik dening negara wiwitan. Antonim yaiku hukum probabilistik. ² Ing matématika, "discrete" tegese entuk nilai saka set sing bisa diitung. Kosok baline yaiku "terus-terusan".