Jalur geometris lan grumbulan

Nalika nulis artikel iki, aku kelingan lagu lawas banget dening Jan Pietrzak, sing dheweke nyanyi sadurunge kegiatan satirical ing kabaret Pod Egidą, sing diakoni ing Republik Rakyat Polandia minangka katup safety; siji bisa jujur ​​ngguyu ing paradoxes saka sistem. Ing tembang iki, penulis nyaranake partisipasi politik sosialis, ngece wong-wong sing pengin apolitis lan mateni radio ing koran. "Luwih becik bali menyang sekolah maca," Petshak sing umur XNUMX taun banjur nyanyi kanthi ironis.

Aku arep bali sekolah maca. Aku maca maneh (ora sepisanan) buku Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Kanggo sawetara sing maca, tembung kasebut dhewe ujar. Iki minangka jeneng putri ahli matematika Hindu sing misuwur kanthi jeneng Bhaskara (1114-1185), jenenge Akaria, utawa wong bijak sing menehi irah-irahan bukune babagan aljabar kanthi jeneng kasebut. Lilavati banjur dadi ahli matematika lan filsuf sing misuwur. Miturut sumber liyane, dheweke sing nulis buku kasebut dhewe.

Szczepan Yelensky mènèhi irah-irahan sing padha karo bukuné babagan matématika (èdhisi pisanan, 1926). Bisa uga angel nyebat buku iki minangka karya matematika - luwih akeh teka-teki, lan umume ditulis maneh saka sumber Prancis (hak cipta ing pangertèn modern ora ana). Ing kasus apa wae, nganti pirang-pirang taun, iki minangka siji-sijine buku Polandia sing populer babagan matematika - banjur ditambahake buku kapindho Jelensky, Pythagoras's Sweets. Dadi wong enom sing kasengsem ing matematika (sing kaya aku biyen) ora ana sing bisa dipilih ...

ing tangan liyane, "Lilavati" kudu dikenal meh dening ati ... Ah, ana kaping ... Kauntungan paling gedhe iku aku ... cah enom banjur. Dina iki, saka sudut pandang matématikawan sing wis sinau, aku ndeleng Lilavati kanthi cara sing beda - bisa uga kaya pendaki ing tikungan dalan menyang Shpiglasova Pshelench. Ora ana siji utawa liyane sing kelangan pesona ... Ing gaya khas, Shchepan Yelensky, sing ngaku gagasan nasional ing urip pribadine, dheweke nulis ing pambuka:

Tanpa ndemek deskripsi karakteristik nasional, aku bakal ujar manawa sawise sangang puluh taun, tembung Yelensky babagan matematika ora ilang relevansi. Matematika ngajari sampeyan mikir. Iku kasunyatan. Apa kita bisa mulang sampeyan mikir kanthi beda, luwih gampang lan luwih apik? Bisa uga. Mung ... kita isih ora bisa. Aku nerangake marang murid-muridku sing ora pengin nindakake matematika yen iki uga minangka tes kapinteran. Yen sampeyan ora bisa sinau téori matematika sing prasaja, banjur ... bisa uga kemampuan mental sampeyan luwih elek tinimbang sing dikarepake ...?

Tandha ing wedhi

Lan ing kene crita pisanan ing "Lylavati" - crita sing diterangake dening filsuf Prancis Joseph de Maistre (1753-1821).

Sawijining pelaut saka kapal sing rusak dibuwang ombak menyang pesisir sing kosong, sing dianggep ora ana pedunung. Dumadakan, ing pasir pesisir, dheweke weruh jejak tokoh geometris sing digambar ing ngarepe wong. Banjur dheweke ngerti yen pulo kasebut ora sepi!

Ngutip de Mestri, Yelensky nyerat: tokoh geometrisiku bakal dadi expression bisu kanggo apes, shipwrecked, ketepakan, nanging nuduhake marang ing proporsi Mirit lan nomer, lan iki heralded wong enlightened. Dadi akeh kanggo sejarah.

Elinga yen pelaut bakal nyebabake reaksi sing padha, contone, kanthi nggambar huruf K, ... lan jejak liyane saka ngarsane wong. Kene geometri idealized.

Nanging, astronom Camille Flammarion (1847-1925) ngusulake supaya peradaban saling salam saka kadohan nggunakake geometri. Dheweke weruh iki mung nyoba komunikasi sing bener lan bisa. Ayo nuduhake wong Mars kaya segitiga Pythagorean ... dheweke bakal mangsuli kita karo Thales, kita bakal mangsuli kanthi pola Vieta, bunderan bakal pas karo segi telu, mula kekancan diwiwiti ...

Penulis kayata Jules Verne lan Stanislav Lem bali menyang gagasan iki. Lan ing taun 1972, kothak kanthi pola geometris (lan ora mung) dilebokake ing probe Pioneer, sing isih ngliwati expanses ruang, saiki meh 140 unit astronomi saka kita (1 I minangka jarak rata-rata Bumi saka Bumi) . Srengenge, yaiku, watara 149 yuta km). Kothak kasebut dirancang, sebagian, dening astronom Frank Drake, pencipta aturan kontroversial babagan jumlah peradaban extraterrestrial.

Geometri iku apik tenan. Kita kabeh ngerti sudut pandang umum babagan asal-usul ilmu iki. Kita (kita manungsa) mung wiwit ngukur tanah (lan mengko tanah) kanggo tujuan sing paling migunani. Nemtokake jarak, nggambar garis lurus, menehi tandha sudut sing tepat lan ngitung volume mboko sithik dadi kabutuhan. Mula kabeh iku geometri ("Pengukuran bumi"), mula kabeh matematika ...

Nanging, kanggo sawetara wektu iki gambaran cetha saka sajarah ilmu clouded kita. Amarga yen matematika dibutuhake mung kanggo tujuan operasional, kita ora bakal melu mbuktekake teorema sing prasaja. "Sampeyan ndeleng manawa iki pancen bener," ujare sawise mriksa manawa ing sawetara segitiga tengen jumlah kuadrat hipotenus padha karo kuadrat hipotenus. Kenapa formalisme kaya ngono?

Plum pie kudu enak, program komputer kudu bisa, mesin kudu bisa. Yen aku ngetung kapasitas laras telung puluh lan kabeh wis rapi, apa maneh?

Ing sawetoro wektu, ana ing Yunani kuna sing sawetara bukti resmi perlu kanggo ketemu.

Dadi, matematika diwiwiti karo Thales (625-547 SM). Dianggep yen Miletus sing wiwit mikir kenapa. Iku ora cukup kanggo wong pinter sing padha ndeleng soko, sing padha nggawe percoyo saka soko. Dheweke weruh perlu kanggo bukti, urutan logis saka argumen saka asumsi kanggo tesis.

Dheweke uga pengin luwih akeh. Mesthi wae Thales sing pisanan nyoba nerangake fenomena fisik kanthi cara naturalistik, tanpa campur tangan ilahi. Filsafat Eropa diwiwiti kanthi filsafat alam - karo apa sing wis ana ing mburi fisika (mula jenenge: metafisika). Nanging dhasar ontologi Eropa lan filsafat alam dilebokake dening Pythagoreans (Pythagoras, c. 580-c. 500 SM).

Dheweke ngedegake sekolah dhewe ing Crotone ing sisih kidul Semenanjung Apennine - dina iki kita bakal ngarani sekte. Ilmu (ing pangertèn saiki), mistisisme, agama lan fantasi kabeh raket. Thomas Mann nampilake pelajaran matematika kanthi apik ing gimnasium Jerman ing novel Doctor Faustus. Diterjemahake dening Maria Kuretskaya lan Witold Virpsha, pecahan iki maca:

Ing buku menarik Charles van Doren, The History of Knowledge from Dawn of History to the Present Day, aku nemokake sudut pandang sing menarik banget. Ing salah sawijining bab, penulis nggambarake pentinge sekolah Pythagorean. Irah-irahan bab kasebut narik kawigatenku. Waca: "Penemuan Matematika: Pythagoreans".

Kita kerep ngrembug apa téyori matématika ditemokaké (contone, tanah sing ora dingerteni) utawa diciptakake (contone, mesin sing durung ana sadurunge). Sawetara ahli matematika kreatif ndeleng awake dhewe minangka peneliti, liyane minangka penemu utawa desainer, kurang asring counter.

Nanging penulis buku iki nyerat babagan penemuan matématika ing umum.

Saka exaggeration kanggo delusion

Sawise bagean pambuka sing dawa iki, aku bakal nerusake menyang wiwitan. geometrikanggo njlèntrèhaké carane over-reliance ing geometri bisa mislead ilmuwan. Johannes Kepler dikenal ing fisika lan astronomi minangka panemu telung hukum gerakan benda langit. Kaping pisanan, saben planet ing tata surya ngubengi srengéngé kanthi orbit elips, kanthi srengéngé ing salah sawijining fokus. Kapindho, kanthi interval reguler sinar utama planet, sing digambar saka Srengenge, nggambar lapangan sing padha. Katelu, rasio kuadrat periode revolusi planet ngubengi Srengéngé karo kubus sumbu semi-mayor orbité (yaiku, jarak rata-rata saka Srengéngé) tetep kanggo kabèh planit ing tata surya.

Mbok menawa iki minangka hukum katelu - mbutuhake akeh data lan petungan kanggo netepake, sing ndadekake Kepler terus nggoleki pola gerakan lan posisi planet. Sajarah "penemuan" anyar dheweke banget instruktif. Wiwit jaman kuna, kita wis admired ora mung polyhedra biasa, nanging uga bantahan nuduhake sing ana mung lima ing papan. Polyhedron telung dimensi diarani reguler yen pasuryane poligon reguler sing identik lan saben vertex nduweni jumlah pojok sing padha. Illustratively, saben sudhut polyhedron biasa kudu "katon padha". Polyhedron sing paling misuwur yaiku kubus. Saben uwong wis weruh tungkak biasa.

Tetrahedron biasa kurang dikenal, lan ing sekolah kasebut diarani piramida segitiga biasa. Iku katon kaya piramida. Sisane telung polyhedra biasa kurang dikenal. Octahedron dibentuk nalika kita nyambungake tengah-tengah pinggiran kubus. Dodecahedron lan icosahedron wis katon kaya bal. Digawe saka kulit alus, padha bakal nyaman kanggo digali. Alesan sing ora ana polyhedra biasa kajaba limang padatan Platonik apik banget. Kaping pisanan, kita ngerti yen awak iku reguler, banjur nomer sing padha (ayo q) poligon reguler sing padha kudu konvergen ing saben vertex, supaya iki dadi sudut p. Saiki kita kudu ngelingi apa sudut ing poligon biasa. Yen ana sing ora ngelingi saka sekolah, kita ngelingake sampeyan carane nemokake pola sing bener. We njupuk trip watara sudhut. Ing saben vertex kita nguripake liwat amba padha a. Nalika kita ngubengi poligon lan bali menyang titik wiwitan, kita wis nggawe p dadi, lan total kita wis nguripake 360 ​​derajat.

Nanging α minangka pelengkap 180 derajat saka sudut sing arep kita kalkulasi, lan mulane

Kita wis nemokake rumus kanggo sudut (ahli matematika bakal ngomong: ukuran sudut) poligon biasa. Coba priksa: ing segitiga p = 3, ora ana a

Kaya iki. Nalika p = 4 (kotak), banjur

gelar uga apik.

Apa sing kita entuk kanggo pentagon? Dadi apa sing kedadeyan nalika ana q poligon, saben p duwe sudut sing padha

 derajat mudhun ing siji vertex? Yen ana ing bidang, banjur ana sudut

derajat lan ora bisa luwih saka 360 derajat - amarga banjur poligon tumpang tindih.

Nanging, amarga poligon iki ketemu ing papan, amba kudu kurang saka amba lengkap.

Lan ing kene ana ketimpangan saka kabeh iki:

Dibagi karo 180, kaping pindho bagean karo p, urutan (p-2) (q-2) < 4. Apa ing ngisor iki? Wigati dimangerteni manawa p lan q kudu dadi nomer alami lan p > 2 (kenapa? Lan apa p?) Lan uga q > 2. Ora ana akeh cara kanggo nggawe produk saka rong wilangan alami kurang saka 4. bakal dhaptar kabeh ing tabel 1.

Aku ora ngirim gambar, kabeh wong bisa ndeleng tokoh-tokoh kasebut ing Internet ... Ing Internet ... Aku ora bakal nolak digression lirik - mbok menawa menarik kanggo para pamaca enom. Ing taun 1970 aku ngomong ing seminar. Topik kasebut angel. Aku duwe wektu sethithik kanggo nyiapake, aku lungguh ing wayah sore. Artikel utama mung diwaca ing panggonan. Panggonane mulyo, karo swasana kerja, uga tutup jam pitu. Banjur penganten putri (saiki bojoku) dhewe nawani nulis maneh kabeh artikel kanggo aku: udakara udakara kaca sing dicithak. Aku nyalin (ora, ora nganggo pulpen, malah duwe pulpen), kuliahe sukses. Dina iki aku nyoba golek publikasi iki, sing wis lawas. Aku mung ngelingi jeneng penulis ... Panelusuran ing Internet suwene suwene ... limalas menit lengkap. Aku mikir babagan iki karo smirk lan getun sethitik unjustified.

Kita bali menyang Keplera lan geometri. Pranyata, Plato prédhiksi anané wujud reguler kaping lima amarga dheweke ora duwe apa-apa sing manunggal, nutupi jagad iki. Mbokmenawa dheweke mrentah murid (Theajtet) kanggo nggoleki dheweke. Kaya sing wis ana, mula, adhedhasar dodecahedron ditemokake. Sikap iki diarani pantheisme Plato. Kabeh ilmuwan, mudhun kanggo Newton, succumbed menyang ombone luwih utawa rodok kurang. Wiwit abad kaping wolulas sing rasional banget, pengaruhe saya suda drastis, sanajan kita ora kudu isin yen kita kabeh padha nyerah kanthi cara siji utawa liyane.

Ing konsep Kepler babagan mbangun tata surya, kabeh wis bener, data eksperimen bertepatan karo teori, teori kasebut logis koheren, apik banget ... nanging kabeh palsu. Ing jamane, mung enem planet sing dikenal: Mercury, Venus, Bumi, Mars, Jupiter lan Saturnus. Kenapa mung ana enem planet? pitakone Kepler. Lan keteraturan apa sing nemtokake jarak saka Srengéngé? Dheweke nganggep yen kabeh wis disambungake, iku geometri lan kosmogoni gegandhengan karo siji liyane. Saka tulisan Yunani kuno, dheweke ngerti yen mung ana limang polyhedra biasa. Dheweke weruh ana limang rongga ing antarane enem orbit. Dadi mungkin saben spasi gratis iki cocog karo sawetara polyhedron biasa?

Sawise pirang-pirang taun pengamatan lan karya teoretis, dheweke nggawe teori ing ngisor iki, kanthi bantuan ngetung kanthi akurat ukuran orbit, sing disedhiyakake ing buku "Mysterium Cosmographicum", diterbitake ing 1596: Mbayangno bola raksasa, diameteripun punika diameteripun orbit Mercury ing gerakan taunan ngubengi srengenge. Banjur mbayangno yen ing bal iki ana octahedron biasa, ing bola, ing icosahedron, ing maneh bal, ing dodecahedron, ing bal liyane, ing tetrahedron, banjur maneh bal, kubus. lan, pungkasanipun, ing kotak iki werni diterangake.

Kepler nyimpulake yen dhiameter bola-bola kasebut minangka dhiameter orbit planet liyane: Merkurius, Venus, Bumi, Mars, Jupiter, lan Saturnus. Teori kasebut katon akurat banget. Sayange, iki pas karo data eksperimen. Lan apa bukti sing luwih apik babagan kabeneran teori matematika tinimbang korespondensi karo data eksperimen utawa data observasi, utamane "dijupuk saka swarga"? Aku ngringkes petungan kasebut ing Tabel 2. Dadi apa sing ditindakake Kepler? Aku nyoba lan nyoba nganti bisa, yaiku, nalika konfigurasi (urutan bola) lan petungan asil bertepatan karo data observasi. Mangkene angka lan petungan Kepler modern:

Siji bisa succumb kanggo daya tarik teori lan pracaya pangukuran ing langit ora akurat, lan ora petungan digawe ing kasepen workshop. Sayange, dina iki kita ngerti manawa paling ora ana sangang planet lan kabeh asil kebetulan mung kebetulan. Sayange. Iku apik banget ...