Cipher lan telik

Ing Pojok Matematika dina iki, aku arep nliti topik sing dakrembug ing Kemah Sains taunan Yayasan Anak Nasional kanggo bocah-bocah. Yayasan iki nggoleki bocah-bocah lan pemuda sing nduweni minat ilmiah. Sampeyan ora kudu banget wasis, nanging sampeyan kudu duwe "streak ilmiah." Nilai sekolah sing apik banget ora dibutuhake. Coba, sampeyan bisa uga seneng. Yen sampeyan siswa sekolah dasar utawa SMA, nglamar. Biasane wong tuwa utawa sekolah nggawe laporan, nanging iki ora mesthi kedadeyan. Temokake situs web Yayasan lan goleki.

Ing sekolah saya akeh omong-omongan babagan "coding", nuduhake kegiatan sing biyen dikenal kanthi jeneng "pemrograman". Iki minangka prosedur umum kanggo pendidik teoritis. Dheweke nggali cara lawas, menehi jeneng anyar, lan "kemajuan" digawe dhewe. Ana sawetara wilayah ing ngendi fenomena siklus kasebut dumadi.

Bisa disimpulake yen aku ngremehake didaktik. Ora. Ing pangembangan peradaban, kita kadhangkala bali menyang apa sing wis ditinggal, lan saiki diuripake maneh. Nanging pojok kita matématika, ora filosofis.

Kagolong masyarakat tartamtu uga ateges "simbol umum", wacan, paribasan lan pasemon. Wong sing sinau basa Polandia kanthi sampurna "ana grumbulan gedhe ing Szczebrzeszyn, kumbang ngempet ing alang-alang" bakal langsung katon minangka mata-mata negara manca yen ora mangsuli pitakon apa sing ditindakake dening manuk pelatuk. Mesthi wae dheweke sesak!

Iki ora mung guyon. Ing Desember 1944, Jerman ngluncurake serangan pungkasan ing Ardennes kanthi biaya gedhe. Dheweke nggerakake prajurit sing fasih nganggo basa Inggris kanggo ngganggu gerakan pasukan sekutu, contone kanthi nuntun dheweke menyang arah sing salah ing persimpangan. Sawise wayahe kaget, Amerika wiwit takon prajurit pitakonan curiga, jawaban sing bakal ketok kanggo wong saka Texas, Nebraska utawa Georgia lan inconceivable kanggo wong sing ora tuwuh munggah ana. Ora nggatekake kasunyatan mimpin langsung menyang eksekusi.

Kanggo titik. Aku nyaranake maca buku dening Lukasz Badowski lan Zaslaw Adamashek "Laboratorium ing Laci Meja - Matématika". Iki minangka buku sing apik banget sing nuduhake yen matematika pancen migunani lan "eksperimen matematika" dudu tembung kosong. Iku kalebu, antarane liyane, construction diterangake saka "kardus enigma" - piranti sing bakal njupuk kita mung limalas menit kanggo nggawe lan kang dianggo kaya mesin cipher serius. Ide kasebut dhewe wis kondhang banget, penulis kasebut nindakake kanthi apik, lan aku bakal ngganti rada lan mbungkus nganggo sandhangan matematika.

hacksaws

Ing salah sawijining dalan ing desa dacha ing pinggiran Warsawa, trotoar bubar dibongkar saka "trlinka" - slab paving heksagonal. Numpak ora kepenak, nanging jiwane ahli matematika bungah. Nutupi bidang kanthi poligon biasa (yaiku biasa) ora gampang. Iku mung bisa dadi segi telu, kothak lan hexagons biasa.

Mungkin aku joked sethitik karo kabungahan spiritual iki, nanging hexagon punika tokoh ayu. Saka iku sampeyan bisa nggawe piranti enkripsi cukup sukses. Geometri bakal mbantu. Hexagon nduweni simetri rotasi - tumpang tindih dhewe nalika diputer kanthi kaping 60 derajat. Bidang sing ditandhani, contone, nganggo huruf A ing sisih kiwa ndhuwur anjir. 1 sawise nguripake liwat amba iki, uga bakal tiba ing kothak A - lan padha karo huruf liyane. Dadi ayo ngethok kothak nem kothak, saben nganggo huruf sing beda. Kita sijine kothak sing dipikolehi kanthi cara iki ing lembaran kertas. Ing lapangan enem gratis, ketik enem huruf teks sing pengin dienkripsi. Ayo muter sheet 60 derajat. Enem kolom anyar bakal katon - ketik enem huruf sabanjure pesen kita.

Sego. 1. Trlinks saka kabungahan matématika.

Ing sisih tengen anjir. 1 kita duwe teks dienkode ing cara iki: "Ana lokomotif uap abot ageng ing stasiun."

Saiki matematika sekolah cilik bakal migunani. Carane akeh cara loro nomer bisa disusun relatif kanggo saben liyane?

Apa pitakonan bodho? Kanggo loro: siji ing ngarep utawa liyane.

nggih. Lan telung nomer?

Iku uga ora angel kanggo dhaptar kabeh setelan:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Inggih, iku kanggo papat! Iku isih bisa ditulis kanthi cetha. Tebak aturan urutan aku sijine:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Nalika digit limang, kita njaluk 120 setelan bisa. Ayo padha nelpon permutasi. Jumlah permutasi bisa saka n nomer produk 1 2 3 ... n, disebut kuwat lan diwenehi tandha seru: 3!=6!=4!=24. Kanggo nomer sabanjure 5 kita duwe 120! = 6. Kita bakal nggunakake iki kanggo nggawe tameng cipher heksagonal luwih rumit.

Kita milih permutation saka nomer saka 0 kanggo 5, contone 351042. disk scrambling hexagonal kita wis mlayu ing lapangan tengah - supaya bisa sijine "ing posisi nul" - mlayu munggah, kaya ing anjir. 1. Kita sijine disk ing cara iki ing sheet saka kertas kang kita kudu nulis laporan kita, nanging kita ora nulis langsung, nanging nguripake kaping telu dening 60 derajat (IE 180 derajat) lan ketik enem huruf ing kothak kosong. Kita bali menyang posisi wiwitan. Kita nguripake dial kaping lima kanthi 60 derajat, yaiku, kanthi limang "untu" saka dial kita. We print. Posisi skala sabanjure yaiku posisi sing diputar 60 derajat sekitar nol. Posisi kaping papat yaiku 0 derajat, iki minangka posisi wiwitan.

Apa sampeyan ngerti apa sing kedadeyan? Kita duwe kesempatan tambahan - kanggo complicate "mesin" kita luwih saka pitung atus kaping! Dadi, kita duwe rong posisi independen saka "automaton" - pilihan saka kothak lan pilihan saka permutasi. Kothak bisa dipilih kanthi 66 = 46656 cara, permutasi 720. Iki menehi 33592320 kemungkinan. Swara 33 yuta cipher! Meh kurang, amarga sawetara kothak ora bisa Cut metu saka kertas.

Ing sisih ngisor anjir. 1 kita duwe pesen kode kaya iki: "Aku ngirim sampeyan papat divisi parasut." Iku gampang kanggo ngerti sing mungsuh kudu ora diijini ngerti bab iki. Nanging dheweke bakal ngerti babagan iki:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYH

malah karo teken 351042?

Kita mbangun Enigma, mesin cipher Jerman

Sego. 2. Conto persiyapan awal mesin enkripsi kita.

Permutasi (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Kaya sing wis dakcritakake, aku duwe utang kanggo nggawe mesin karton kasebut ing buku "Lab in a Drawer - Mathematics". "Konstruksi" saya rada beda karo sing diwenehake dening penulis.

Mesin cipher sing digunakake dening Jerman nalika perang nduweni prinsip sing gampang banget, meh padha karo sing kita deleng nganggo cipher hex. Saben wektu bab sing padha: break hard assignment saka layang kanggo layang liyane. Iku kudu diganti. Kepiye carane nindakake supaya bisa ngontrol?

Ayo dadi milih ora permutation sembarang, nanging siji sing wis siklus dawa 2. Cukup, kaya "Gaderipoluk" diterangake kene sawetara sasi kepungkur, nanging nutupi kabeh aksara saka aksara. Ayo disepakati 24 aksara - tanpa ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Carane akeh permutasi kuwi? Iki minangka tugas kanggo lulusan SMA (mesthi bisa langsung ngrampungake). Wonten pinten? akeh? Pirang ewu? ya:

1912098225024001185793365052108800000000 (aja nyoba maca nomer iki). Ana akeh kemungkinan kanggo nyetel posisi "nol". Lan bisa dadi angel.

Mesin kita kasusun saka rong cakram bunder. Ing salah siji saka wong-wong mau, sing isih ngadeg, ditulis layang. Iki kaya dene telpon lawas, ing ngendi sampeyan nelpon nomer kanthi nguripake kabeh. Rotary minangka nomer loro kanthi skema warna. Cara paling gampang kanggo nyelehake ing gabus biasa nggunakake pin. Tinimbang gabus, sampeyan bisa nggunakake papan tipis utawa karton kandel. Lukasz Badowski lan Zasław Adamaszek nyaranake nyelehake disk loro kasebut ing kothak CD.

Bayangake kita pengin ngode tembung ARMATI (Sego. 2 lan 3). Setel piranti menyang posisi nul (panah munggah). Huruf A cocog karo F. Puter sirkuit internal siji huruf ing sisih tengen. Kita duwe huruf R kanggo encode, saiki cocog karo A. Sawise rotasi sabanjure, kita weruh yen huruf M cocog karo U. Rotasi sabanjure (diagram kaping papat) menehi korespondensi A - P. Ing dial kaping lima kita duwe T - A. Akhire (bunder enem ) Y – Y Mungsuh mbokmenawa ora bakal guess sing CFCFAs kita bakal mbebayani kanggo wong. Lan kepiye "kita" bakal maca kiriman kasebut? Dheweke kudu duwe mesin sing padha, "diprogram" sing padha, yaiku kanthi permutasi sing padha. Cipher diwiwiti ing posisi nol. Dadi nilai F yaiku A. Puterake dial searah jarum jam. Huruf A saiki digandhengake karo R. Dheweke nguripake tombol nengen lan ing ngisor huruf U nemokake M, lan liya-liyane. Petugas cipher mlayu menyang jenderal: "Jenderal, aku nglaporake, bedhil bakal teka!"

Sego. 3. Prinsip operasi Enigma kertas kita.

Sego. 3. Prinsip operasi Enigma kertas kita.

Kemungkinan malah Enigma primitif kuwi apik tenan. Kita bisa milih permutasi output liyane. Kita bisa - lan ana luwih akeh kesempatan ing kene - ora kanthi "serif" kanthi reguler, nanging ing urutan tartamtu, ganti saben dina, padha karo hexagon (contone, telung huruf pisanan, banjur pitu, banjur wolung, papat ... .. lsp.).

Kok bisa tebak?! Nanging kanggo matématikawan Polandia (Marian Reevski, Henrik Sigalski, Jerzy Ruzicki) kedadeyan. Informasi sing dipikolehi pancen ora ana regane. Sadurunge, dheweke duwe kontribusi sing padha penting kanggo sejarah pertahanan kita. Vaclav Sierpinski i Stanislav Mazurkevichsing nglanggar kode tentara Rusia ing taun 1920. Kabel sing dicegat menehi kesempatan kanggo Piłsudski kanggo nggawe maneuver sing misuwur saka Kali Vepsz.

Aku elinga Vaslav Sierpinski (1882-1969). Dheweke katon kaya ahli matematika sing ora ana jagad njaba. Dheweke ora bisa ngomong babagan partisipasi ing kamenangan ing taun 1920 kanggo militer lan ... amarga alasan politik (panguwasa Republik Rakyat Polandia ora seneng karo wong-wong sing mbela kita saka Uni Soviet).

Sego. 4. Permutasi (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Sego. 5. Hiasan ayu, nanging ora cocok kanggo enkripsi. Ajeg banget.

1 proyek. Na anjir. 4 sampeyan duwe permutasi liyane kanggo nggawe Enigma. Nyalin gambar menyang xerograph. Mbangun mobil, kode jeneng ngarep lan mburi. Kula CWONUE JTRYGT. Yen sampeyan kudu nyimpen cathetan pribadi, gunakake Cardboard Enigma.

2 proyek. Enkripsi jeneng lan jeneng salah sawijining "mobil" sing sampeyan deleng, nanging (manungsa waé!) Kanthi komplikasi tambahan: kita ora nguripake siji kedudukan ing sisih tengen, nanging miturut skema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - yaiku, pisanan dening siji, banjur dening loro, banjur dening telu, banjur dening 2, banjur maneh dening 1, banjur dening 2, etc., "wavelet" kuwi. . Priksa manawa jeneng ngarep lan mburiku dienkripsi minangka CZTTAK SDBITH. Saiki sampeyan ngerti carane kuat mesin Enigma?

Pemecahan masalah kanggo lulusan sekolah menengah. Carane akeh opsi konfigurasi kanggo Enigma (ing versi iki, minangka diterangake ing artikel)? Kita duwe 24 huruf. Kita milih pasangan pisanan aksara - iki bisa rampung ing

cara. Pasangan sabanjuré bisa milih ing

cara, liyane

lsp. Sawise petungan sing cocog (kabeh nomer kudu pingan), kita njaluk

151476660579404160000

Banjur dibagi nomer 12! (12 faktorial), amarga pasangan sing padha bisa dipikolehi kanthi urutan sing beda. Dadi ing pungkasan kita entuk "total"

316234143225,

iku mung liwat 300 milyar, kang ora katon kaya nomer staggeringly gedhe kanggo superkomputer dina. Nanging, yen urutan acak saka permutations dhewe dijupuk menyang akun, nomer iki mundhak Ngartekno. Kita uga bisa mikirake jinis permutasi liyane.

Deleng uga: