Lelungan menyang jagad matematika sing ora nyata
Aku nulis artikel iki ing salah sawijining lingkungan, sawise kuliah lan praktik ing perguruan tinggi ilmu komputer. Aku mbela aku marang kritik marang para siswa sekolah iki, kawruh, sikap marang ilmu lan, sing paling penting, katrampilan mulang. Iki... ora ana sing mulang.
Kok aku defensif banget? Kanggo alesan sing prasaja - Aku ing umur nalika, mbokmenawa, donya watara kita durung ngerti. Mungkin aku ngajari wong-wong mau nganggo jaran, lan ora nyopir mobil? Mungkin aku ngajari nulis nganggo pulpen? Sanajan aku duwe pendapat sing luwih apik babagan wong, aku nganggep aku "ngetut", nanging ...
Nganti saiki, ing SMA, padha ngomong bab nomer Komplek. Lan dina Rebo iki aku mulih, mandheg - meh ora ana siswa sing ngerti apa iku lan carane nggunakake nomer kasebut. Sawetara ndeleng kabeh matematika kaya angsa ing lawang sing dicet. Nanging aku uga kaget banget nalika dheweke ngandhani carane sinau. Cukup, saben jam kuliah ana rong jam peer: maca buku pelajaran, sinau carane ngatasi masalah ing topik tartamtu, lsp. Duwe disiapake kanthi cara iki, kita teka ing latihan, ngendi kita nambah kabeh ... Pleasantly, siswa, ketoke, panginten sing lungguh ing kuliah - paling asring looking metu saka jendhela - wis njamin entri kawruh menyang sirah.
mandeg! Cukup iki. Aku bakal njlèntrèhaké jawaban kanggo pitakonan sing tak tampa nalika kelas karo sing duwe beasiswa Dana Anak Nasional, institusi sing ndhukung bocah-bocah bakat saka kabeh negara. Pitakonan (utawa luwih saran) yaiku:
- Apa sampeyan bisa ngandhani babagan nomer sing ora nyata?
“Mesthine,” wangsulanku.
Kasunyatan saka angka
"Kanca iku aku liyane, kekancan iku rasio nomer 220 lan 284," ujare Pythagoras. Titikanipun ing ngriki cacahing pambagi angka 220 inggih punika 284, lan cacahing pambagi angka 284 punika 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Kebetulan liyane sing menarik antarane nomer 220 lan 284 yaiku: nomer prima paling dhuwur pitulas yaiku 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, lan 59.
Jumlahe yaiku 2x220, lan gunggunge kothak yaiku 59x284.
Pisanan. Ora ana konsep "nomer nyata". Kayane sawise maca artikel babagan gajah, sampeyan takon, "Saiki kita bakal njaluk sing ora gajah." Ana wutuh lan ora wutuh, rasional lan ora rasional, nanging ora ana sing ora nyata. khususe: angka sing ora nyata ora disebut ora bener. Ana akeh jinis "nomer" ing matématika, lan padha beda-beda saka siji liyane, kayata - kanggo njupuk comparison zoological - gajah lan earthworms.
Kapindho, kita bakal nindakake operasi sing sampeyan wis ngerti yen dilarang: ngekstrak akar kuadrat saka nomer negatif. Inggih, matématika bakal ngatasi alangan kasebut. Apa iku nggawe pangertèn sanadyan? Ing matématika, kaya ing èlmu liya, apa téyori lumebu ing salawas-lawase menyang gudang kawruh gumantung ... ing aplikasi. Yen ora ana gunane, banjur dadi sampah, banjur dadi sampah sejarah kawruh. Tanpa angka sing dakkandhakake ing pungkasan artikel iki, ora mungkin ngembangake matematika. Nanging ayo miwiti karo sawetara perkara cilik. Apa nomer nyata, sampeyan ngerti. Dheweke ngisi garis nomer kanthi padhet lan tanpa kesenjangan. Sampeyan uga ngerti apa nomer alam: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - kabeh ora bakal pas memori malah paling gedhe. Padha uga duwe jeneng ayu: alam. Dheweke duwe akeh sifat sing menarik. Kepiye sampeyan seneng iki:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
"Wajar yen kasengsem ing nomer alami," ujare Karl Lindenholm, lan Leopold Kronecker (1823-1891) kanthi ringkes: "Gusti Allah nitahake nomer alami - kabeh liyane minangka karya manungsa!" Pecahan (disebut angka rasional dening para ahli matematika) uga nduweni sifat sing apik banget:
lan ing kesetaraan:
sampeyan bisa, miwiti saka sisih kiwa, gosok plus lan ngganti karo pratandha multiplikasi - lan podo bakal tetep bener:
Lan liyane.
Kaya sing sampeyan ngerteni, kanggo pecahan a/b, ing ngendi a lan b minangka integer, lan b ≠ 0, padha ngomong. angka rasional. Nanging mung ing Polandia padha nelpon piyambak sing. Dheweke nganggo basa Inggris, Prancis, Jerman lan Rusia. angka rasional. Ing basa Inggris: angka rasional. Angka irrasional iku ora rasional, ora rasional. Kita uga nganggo basa Polandia babagan teori, gagasan lan tumindak sing ora rasional - iki kegilaan, khayalan, ora bisa diterangake. Dheweke ngomong yen wanita wedi karo tikus - apa ora rasional?
Ing jaman kuna, angka duwe jiwa. Saben tegese soko, saben dilambangake soko, saben dibayangke partikel harmoni Universe, sing ing Yunani, Cosmos. Tembung "kosmos" tegese persis "tertib, tatanan". Sing paling penting ana enem (nomer sampurna) lan sepuluh, jumlah saka wilangan consecutive 1 + 2 + 3 + 4, digawe saka nomer liyane sing simbolisme wis slamet kanggo dina iki. Dadi Pythagoras mulang manawa nomer minangka wiwitan lan sumber kabeh, lan mung panemuan angka irrasional ngowahi gerakan Pythagoras menyang geometri. We ngerti alesan saka sekolah sing
√2 minangka nomer irasional
Kanggo Upaminipun sing ana: lan pecahan iki ora bisa suda. Utamane, loro p lan q iku ganjil. Dadi kothak: 2q2=p2. Angka p ora bisa ganjil, wiwit p2 uga, lan sisih kiwa kesetaraan iku kelipatan saka 2. Mula, p iku genap, yaiku, p = 2r, mula p2= 4r2. Kita ngurangi persamaan 2q2= 4r2 dening 2. We njaluk q2= 2r2 lan kita waca sing q uga kudu malah, kang kita nganggep ora mangkono. Kontradiksi asil ngrampungake bukti - rumus iki asring bisa ditemokake ing saben buku matematika. Bukti circumstantial iki minangka trik favorit para sofis.
Immensity iki ora bisa dimangerteni dening Pythagoreans. Kabeh kudu bisa diterangake kanthi nomer, lan diagonal kothak, sing sapa wae bisa digambar nganggo tongkat ing pasir, ora ana, yaiku, bisa diukur, dawa. "Iman kita muspra," ujare Pythagoreans. Kepiye carane? Iku jenis ... ora klebu nalar. Uni nyoba nylametake awake dhewe kanthi cara sektarian. Sapa wae sing wani ngungkapake orane angka irrasional, bakal diukum pati, lan, ketoke, ukara pisanan wis dileksanakake dening master piyambak.
Nanging "pikiran liwati tanpa cilaka." Jaman emas wis teka. Yunani ngalahake Persia (Marathon 490, Blok 479). Demokrasi dikuwatake, pusat pemikiran filosofis anyar lan sekolah anyar muncul. Pythagoreans isih berjuang karo angka sing ora rasional. Sawetara martakaké: kita ora bakal ngerti misteri iki; kita mung bisa contemplate lan gumun ing Uncharted. Sing terakhir luwih pragmatis lan ora ngurmati Misteri. Ing wektu iku, muncul loro konstruksi mental sing ndadekake iku bisa kanggo mangerteni nomer ora klebu nalar. Kasunyatan manawa kita ngerti kanthi becik saiki dadi milik Eudoxus (abad kaping XNUMX SM), lan mung ing pungkasan abad kaping XNUMX, ahli matematika Jerman Richard Dedekind menehi téori Eudoxus pangembangan sing tepat sesuai karo syarat sing ketat. logika matematika.
Massa tokoh utawa torture
Apa sampeyan bisa urip tanpa angka? Malah yen urip bakal dadi ... Kita kudu pindhah menyang toko kanggo tuku sepatu nganggo tongkat, sing sadurunge diukur dawane sikil. "Aku pengin apel, ah, iki!" – kita bakal nuduhake bakul ing pasar. "Sepira adoh saka Modlin menyang Nowy Dwur Mazowiecki"? “Cedhak banget!”
Angka digunakake kanggo ngukur. Kanthi bantuan, kita uga nyatakake akeh konsep liyane. Contone, skala peta nuduhake sepira wilayah negara wis suda. Skala loro-kanggo-siji, utawa mung 2, mratelakake kasunyatan manawa ana sing wis tikel kaping pindho. Ayo ngomong matématis: saben homogeneitas cocog karo nomer - skala.
Tugas. Kita nggawe salinan xerographic, nggedhekake gambar kaping pirang-pirang. Banjur pecahan nggedhekake maneh nggedhekake b kaping. Apa skala pembesaran umum? Wangsulan: a × b dikali b. Timbangan kasebut kudu dikali-kali. Nomer "minus siji", -1, cocog karo siji presisi sing dipusatake, yaiku diputer 180 derajat. Nomer apa sing cocog karo giliran 90 derajat? Ora ana nomer kasebut. Iku, iku ... utawa luwih, iku bakal rauh. Apa sampeyan siap kanggo torture moral? Njupuk wani lan njupuk ROOT kothak saka minus siji. Aku ngrungokake? Apa sampeyan ora bisa? Sawise kabeh, aku ngomong sampeyan kudu wani. Tarik metu! Hey, nggih, narik, narik ... Aku bakal mbantu ... Kene: -1 Saiki kita duwe, ayo nyoba kanggo nggunakake ... Mesthi, saiki kita bisa extract werna saka kabeh angka negatif, kanggo contone.:
√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1
"Ora preduli saka kasusahan mental sing ana." Iki sing ditulis Girolamo Cardano ing taun 1539, nyoba ngatasi masalah mental sing ana gandhengane - sing diarani - jumlah imajiner. Dheweke nganggep iki ...
...Tugas. Dibagi 10 dadi rong bagean, produke 40. Aku kelingan yen saka episode sadurunge dheweke nulis kaya mangkene: Mesthi ora mungkin. Nanging, ayo nindakake iki: dibagi 10 dadi rong bagean sing padha, saben padha karo 5. Multiply - ternyata 25. Saka asil 25, saiki nyuda 40, yen sampeyan seneng, lan sampeyan entuk -15. Saiki delengen: √-15 ditambahake lan dikurangi saka 5 menehi hasil 40. Iki nomer 5-√-15 lan 5 + √-15. Verifikasi asil kasebut ditindakake dening Cardano kaya ing ngisor iki:
“Sanajan lara ati, kalikan 5 + √-15 karo 5-√-15. Kita entuk 25 - (-15), sing padha karo 25 + 15. Dadi, produk kasebut yaiku 40 .... Pancen angel."
Pira regane: (1 + √-1) (1-√-1)? Ayo multiply. Elinga yen √-1 × √-1 = -1. gedhe. Saiki tugas sing luwih angel: saka a + b√-1 nganti ab√-1. Ana apa? Mesthine kaya mangkene: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
Apa sing menarik babagan iki? Contone, kasunyatan manawa kita bisa nganggep ekspresi sing "durung ngerti." Rumus perkalian sing dicekak kanggo2-b2 Apa sampeyan ngelingi rumus kanggo2+b2 ora, amarga ora bisa. Ing domain nomer nyata, polinomial2+b2 iku ora bisa diendhani. Ayo ndudohke "kita" werna kuadrat saka "minus siji" karo huruf i.2= -1. Iku nomer prima "ora nyata". Lan iki sing nggambarake owah-owahan 90 derajat pesawat. Kenging punapa? Sawise kabeh,2= -1, lan nggabungake siji rotasi 90 derajat lan rotasi 180 derajat liyane menehi rotasi 45 derajat. Apa jinis rotasi sing diterangake? Temenan giliran XNUMX derajat. Apa tegese -i? Iku rada rumit:
(-aku)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
Dadi -i uga nggambarake rotasi 90 derajat, mung ing arah ngelawan saka rotasi i. Kang kiwa lan kang tengen? Sampeyan kudu nggawe janjian. Kita nganggep sing nomer i nemtokake rotasi ing arah sing matématikawan nimbang positif: counterclockwise. Angka -i nggambarake rotasi ing arah pitunjuk sing obah.
Nanging apa nomer kaya i lan -i ana? Are! Kita mung nggawa wong-wong mau kanggo urip. Aku ngrungokake? Sing ana mung ing sirah kita? Apa sing dikarepake? Kabeh nomer liyane uga mung ana ing pikiran kita. Kita kudu ndeleng manawa jumlah bayi sing isih bayi bisa urip. Luwih tepate, apa desain logis lan apa bakal migunani kanggo soko. Mangga njupuk tembung kanggo kabeh iku supaya lan nomer anyar iki pancene mbiyantu. Angka kaya 3+i, 5-7i, luwih umum: a+bi diarani wilangan kompleks. Aku nuduhake sampeyan carane sampeyan bisa njaluk kanthi muter pesawat. Bisa dilebokake kanthi cara sing beda-beda: minangka titik ing bidang, minangka sawetara polinomial, minangka sawetara jinis array numerik ... lan saben wektu padha: persamaan x2 +1=0 ora ana unsure... hocus pocus wis ana!!!! Ayo padha bungah lan bungah!!!
Pungkasan tur
Iki rampung demo pisanan negara nomer palsu. Saka nomer unearthly liyane, Aku uga bakal sebutno sing duwe nomer tanpa wates digit ing ngarep, lan ora konco (padha disebut 10-adic, kanggo kita p-adic luwih penting, ngendi p iku nomer prima), kanggo tuladha X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
Ayo ngetung X2. Amarga? Apa yen kita ngetung kuadrat saka nomer ngiring dening nomer tanpa wates digit? Nah, ayo padha nglakoni. Kita ngerti yen x2 = H.
Ayo goleki nomer liyane kanthi angka tanpa wates ing ngarep sing cocog karo persamaan kasebut. Petunjuk: kothak saka nomer sing ends enem uga ends enem. Kuadrat saka nomer sing pungkasane 76 uga rampung ing 76. Kuadrat saka nomer sing pungkasan ing 376 uga mungkasi ing 376. Kuadrat saka nomer sing pungkasan ing 9376 uga mungkasi ing 9376. Kuadrat saka nomer sing pungkasan ing XNUMX ing… Ana uga nomer sing cilik banget, sing positif, tetep luwih cilik tinimbang nomer positif liyane. Padha cilik banget sing kadhangkala cukup kanggo kothak kanggo njaluk nol. Ana angka sing ora nyukupi syarat a × b = b × a. Ana uga nomer tanpa wates. Pira nomer alami sing ana? Tanpa wates akeh? Ya, nanging pira? Kepiye carane bisa dituduhake minangka nomer? Wangsulan: Bab ingkang paling cilik saka nomer tanpa wates; Iki ditandhani nganggo huruf sing apik: A lan ditambah karo indeks nol A0 , aleph-nol.
Ana uga nomer sing kita ora ngerti ana ... utawa sampeyan bisa pracaya utawa ora pracaya sampeyan pengin. Lan ngomong babagan: Muga-muga sampeyan isih seneng Nomer Unreal, Nomer Spesies Fantasi.
