Apa kita ora dibagi dening nul?
Isi
Pembaca bisa uga mikir kenapa aku nyawisake kabeh artikel kanggo masalah banal? Alasane yaiku jumlah siswa sing nggumunake (!) sing sembrono nindakake operasi kanthi jeneng kasebut. Lan ora mung siswa. Kadang aku nyekel lan guru. Apa sing bakal ditindakake para siswa saka guru kasebut ing matematika? Alesan langsung kanggo nulis teks iki yaiku obrolan karo guru sing divisi dening nol ora dadi masalah ...
Kanthi nol, ya, kajaba kanggo repot apa-apa, amarga kita ora perlu nggunakake ing saben dinten. Kita ora blanja kanggo nol endhog. "Ana siji wong ing kamar" muni piye wae alam, lan "wong nol" muni gawean. Para ahli basa ngandharake yen nol ana ing njaba sistem basa.
Kita bisa nindakake tanpa nol ing akun bank uga: mung nggunakake - kaya ing thermometer - abang lan biru kanggo nilai positif lan negatif (cathetan yen kanggo suhu iku wajar kanggo nggunakake abang kanggo nomer positif, lan kanggo akun bank iku normal. iku cara liyane watara, amarga debit kudu micu bebaya, supaya abang banget dianjurake).
Kanthi nyakup nol minangka nomer alami, kita ndemek masalah diferensiasi Nomer kardinal od kluwarga. Ing 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
daya nomer padha karo nomer panggonan kang ngadeg. Yen ora, iku wis ana ing urutan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Jumlah set singleton dadi nomer loro, nomer set karo rong unsur dadi nomer telu, lan liya-liyane. Kita kudu nerangake kenapa, umpamane, kita ora ngetung panggonan para atlit ing kompetisi wiwit awal. Banjur juara pisanan bakal nampa medali perak (emas dadi juara nol), lan liya-liyane. Prosedur sing meh padha digunakake ing bal-balan - Aku ora ngerti yen Pembaca ngerti yen "liga siji" tegese " ngetutake sing paling apik." ", lan liga nol diarani dadi" liga utama ".
Kadhang kita krungu argumentasi sing kudu diwiwiti saka nol, amarga iku trep kanggo wong IT. Terus pertimbangan kasebut, definisi kilometer kudu diganti - kudu 1024 m, amarga iki minangka jumlah bita ing kilobyte (Aku bakal ngrujuk marang lelucon sing dikenal para ilmuwan komputer: "Apa bedane antarane mahasiswa anyar lan mahasiswa ilmu komputer lan mahasiswa taun lima fakultas iki? yen kilobyte iku 1000 kilobyte, sing pungkasan - sing kilometer iku 1024 meter")!
Sudut pandang liyane, sing kudu ditindakake kanthi serius, yaiku: kita tansah ngukur saka awal! Cukup kanggo ndeleng ukuran apa wae ing panguasa, ing skala rumah tangga, sanajan ing jam. Amarga kita ngukur saka nol, lan pancacahan bisa dimangerteni minangka pangukuran kanthi unit tanpa dimensi, mula kita kudu ngetung saka nol.
Iku perkara sing prasaja, nanging ...
Ayo ninggalake pertimbangan umum lan bali menyang divisi kanthi nol. Prakara iku prasaja lan bakal gampang yen ora ana ... banjur apa? Ayo dipikir lan nyoba. Pira bisa - siji dibagi nol? Ayo ndeleng: 1/0 = x. Multiply loro-lorone dening denominator saka sisih kiwa.
Kita entuk 1 = 0. Ana sing salah! Ana apa? Ah tebak! Anggapan yen ana quotient kesatuan lan nol nyebabake kontradiksi. Lan yen siji ora bisa dibagi dening nul, banjur nomer liyane bisa. Yen, Reader, sampeyan ngangkat pundhakmu lan mikir kenapa penulis (yaiku, aku) nulis babagan platitudes kaya ngono, banjur ... aku seneng banget!
Rumus 0/0 = 0 bisa dibela kanthi dhasar, nanging bertentangan karo aturan yen asil pamisah nomer kasebut padha karo siji. Pancen, nanging beda banget yaiku simbol kayata 0/0, ° / ° lan liya-liyane ing kalkulus. Dheweke ora ateges nomer, nanging minangka sebutan simbolis kanggo urutan tartamtu saka jinis tartamtu.
Ing buku teknik listrik, aku nemokake perbandingan sing menarik: pamisah karo nol mbebayani kaya listrik tegangan dhuwur. Iki normal: Hukum Ohm nyatakake yen rasio voltase kanggo resistance padha karo saiki: V = U / R. Yen resistance padha nol, arus tanpa wates teoritis bakal mili liwat konduktor, ngobong kabeh konduktor bisa.
Aku tau nulis geguritan bab bebaya dibagi dening nol kanggo saben dina minggu. Aku kelingan yen dina sing paling dramatis yaiku dina Kamis, nanging sayang banget kanggo kabeh karyaku ing wilayah iki.
Nalika sampeyan dibagi soko karo nul
Senin awal banget
Minggu apa sing lagi wae kedadeyan
Sampeyan wis gagal banget.
Nalika Selasa sore
Sampeyan sijine nol ing denominator
Aku bakal ngandhani sampeyan, sampeyan salah
Matématikawan ala!
Nalika liwat nol, liwat perversion,
Kepengin pisah dina Rebo
Sampeyan bakal entuk akeh alangan
Sampeyan duwe suket lan banyu ing sirahmu!
Bartek tartamtu karo kita.
Dheweke ana ing rintangan karo aturan.
Dina Kamis, bisa dibagi karo nol.
Dheweke ora ana maneh ing antarane kita!
Yen kepinginan aneh nyekel sampeyan
Dibagi dening nul ana
Aku bakal jujur, aku bakal jujur:
Awal sing ora apik kanggo akhir minggu iki.
Nalika iku nul, nang endi wae ana
Pembagi bakal dadi duweke (ora kandel)
tumungkul ing ngisor pager pasamuwan.
Iki patangenmu.
Apa sampeyan pengin nol ing ngisor dash,
Nggawe preian ing dina Minggu
Nggawa kapur, papan ireng.
Tulis: iku ora bisa dibagi dening nul!
Zero digandhengake karo kekosongan lan ketiadaan. Pancen, dheweke teka ing matematika minangka jumlah sing, yen ditambahake, ora ngganti: x + 0 = x. Nanging saiki nul katon ing sawetara nilai liyane, utamané minangka wiwitan skala. Yen ing njaba jendela ora ana suhu positif utawa frost, banjur ... iki nol, sing ora ateges ora ana suhu. Tugu kelas nol dudu monumen sing wis suwe dibongkar lan ora ana. Kosok baline, kaya Wawel, Menara Eiffel lan Patung Liberty.
Inggih, pentinge nol ing sistem posisional meh ora bisa dikira-kira. Apa sampeyan ngerti, Reader, pira nomer nol Bill Gates ing akun bank? Aku ora ngerti, nanging aku pengin setengah. Ketoke, Napoleon Bonaparte ngelingi yen wong kaya nol: dheweke entuk makna liwat posisi. Ing film Andrzej Wajda, As the Years, As the Days Go by, seniman sing semangat Jerzy njeblug: "Wong Filistin iku nul, nihil, ora ana apa-apa, nihil, nul." Nanging nul bisa dadi apik: "nol panyimpangan saka norma" tegese kabeh bakal apik, lan tetep!
Ayo bali menyang matematika. Nol bisa ditambahake, dikurangi lan dikalikake kanthi impunity. "Aku entuk nol kilogram," ujare Manya marang Anya. "Lan iki menarik, amarga aku ilang bobot sing padha," wangsulane Anya. Dadi ayo mangan enem porsi es krim kaping enem, iku ora bakal natoni kita.
Kita ora bisa dibagi dening nul, nanging kita bisa dibagi dening nul. Piring saka pangsit nul bisa gampang diwenehi kanggo wong-wong sing nunggu panganan. Pira saben bakal entuk?
Zero ora positif utawa negatif. Iki lan nomer non-positifи non-negatif. Iki nyukupi ketimpangan x≥0 lan x≤0. Kontradiksi "sesuatu sing positif" dudu "sesuatu sing negatif", nanging "sesuatu sing negatif utawa padha karo nol". Matématikawan, sing nalisir aturan basa, mesthi bakal ngomong yen ana sing "padha karo nol" lan dudu "nol." Kanggo mbenerake praktik iki, kita kudu: yen kita maca rumus x = 0 "x iku nol", banjur x = 1 kita maca "x padha karo siji", sing bisa ditelan, nanging babagan "x = 1534267"? Sampeyan uga ora bisa nemtokake nilai numerik menyang karakter 00utawa mundhakaken nul menyang daya negatif. Ing tangan liyane, sampeyan bisa ROOT nul ing bakal ... lan asil bakal tansah nul.
Fungsi eksponensial y = ax, basa positif saka a, tau dadi nol. Iku nderek sing ora ana logaritma nul. Pancen, logaritma saka a dadi basa b minangka eksponen sing basis kudu diunggahake kanggo entuk logaritma a. Kanggo a = 0, ora ana indikator kasebut, lan nol ora bisa dadi basis logaritma. Nanging, nol ing "penyebut" simbol Newton iku liya. Kita nganggep manawa konvensi kasebut ora nyebabake kontradiksi.
bukti palsu
Divisi dening nul iku subyek umum kanggo bukti palsu, lan mengkono malah kanggo matématikawan experienced. Ayo kula menehi loro conto favoritku. Kapisan yaiku aljabar. Aku bakal "mbuktèkaké" sing kabeh nomer padha. Upamane ana rong angka sing ora padha. Mula sing siji luwih gedhe tinimbang liyane, ayo a > b. Ayo kita nganggep yen c minangka prabédan
c \uXNUMXd a - b. Dadi kita duwe a - b = c, saka ngendi a = b + c.
Kita multiply loro bagean saka pungkasan karo a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Aku nerjemahake ak menyang sisih kiwa, mesthi aku kelingan babagan ngganti tandha:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Aku ngilangi faktor umum:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Aku nuduhake lan aku duwe apa sing dakkarepake:
a = b.
Lan bener malah liyo, amarga aku nganggep sing a > b, lan aku tak sing = b. Yen ing conto ndhuwur "mbeling" gampang kanggo ngenali, banjur ing bukti geometris ing ngisor iki ora supaya gampang. Aku bakal mbuktekake yen ... trapezoid ora ana. Tokoh sing biasa disebut trapezoid ora ana.
Nanging umpamane pisanan ana trapezoid (ABCD ing gambar ing ngisor iki). Wis rong sisih podo karo ("basa"). Ayo dadi babagan dhasar kasebut, kaya sing ditampilake ing gambar, supaya entuk paralelogram. Diagonal kasebut mbagi diagonal trapesium liyane dadi bagean sing dawane dilambangake x, y, z, kaya ing gambar 1. Saka persamaan segitiga sing cocog, kita entuk proporsi:
ngendi kita nemtokake:
Oraz
ngendi kita nemtokake:
Kurangi sisi kesetaraan sing ditandhani karo tanda bintang:
Shortening loro-lorone dening x - z, kita njaluk - a / b = 1, kang tegese a + b = 0. Nanging nomer a, b iku dawa saka basa trapezoid. Yen jumlahe nol, mula uga nol. Iki tegese tokoh kaya trapezoid ora bisa ana! Lan amarga persegi dowo, rombus lan kotak uga trapezoid, mula, Reader sing dikasihi, ora ana rombus, persegi panjang lan kotak ...
Koyo kui
Nuduhake informasi minangka sing paling menarik lan tantangan saka papat kegiatan dhasar. Ing kene, kanggo pisanan, kita nemoni fenomena sing umum banget nalika diwasa: "tebak jawabane, banjur priksa manawa sampeyan guessed bener." Iki diungkapake kanthi tepat dening Daniel K. Dennett ("Carane Nggawe Kesalahan?", ing How It Is - A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):
Cara "tebak-tebakan" iki ora ngganggu urip kita diwasa - bisa uga amarga kita sinau awal lan ngira ora angel. Secara ideologis, fenomena sing padha kedadeyan, contone, ing induksi matematika (lengkap). Ing panggonan sing padha, kita "ngira" rumus banjur priksa manawa tebakan kita bener. Siswa tansah takon: "Kepiye carane kita ngerti pola kasebut? Kok bisa diusir?" Nalika mahasiswa takon kula pitakonan iki, Aku nguripake pitakonan sing dadi guyon: "Aku ngerti iki amarga aku profesional, amarga aku dibayar kanggo ngerti." Siswa ing sekolah bisa dijawab kanthi gaya sing padha, mung luwih serius.
Olahraga. Elinga yen kita miwiti perkalian tambahan lan ditulis kanthi unit paling murah, lan divisi kanthi unit paling dhuwur.
Kombinasi saka rong gagasan
Guru matematika tansah nedahake yen apa sing diarani pemisahan diwasa yaiku gabungan saka rong gagasan sing beda-beda: Omah i pisah.
Sing pertama (Omah) ana ing tugas ing ngendi archetype yaiku:
Dibagi-bagi Iki minangka tugas kayata:
? (Kita nahan gaya asli masalah iki, dijupuk saka buku pegangan Julian Zgozalewicz sing diterbitake ing Krakow ing taun 1892 - złoty yaiku złoty Rhenish, mata uang sing ana ing sirkulasi ing Kakaisaran Austro-Hungaria nganti awal abad kaping X).
Saiki nimbang loro masalah karo buku teks matematika paling tuwa ing Polandia, rama Tomasz Clos (1538). Apa divisi utawa coupe? Rampungake cara bocah sekolah ing abad kaping XNUMX:
(Polandia kanggo terjemahan Polandia: Ana quart lan papat pot ing tong minyak. A pot papat quarts. Ana sing tuku 20 barel anggur kanggo 50 zł kanggo perdagangan. Bea lan tax (excise?) bakal 8 zł. Pira kanggo adol liter kanggo entuk 8 zł?)
Olahraga, fisika, kongruensi
Kadhangkala ing olahraga sampeyan kudu dibagi soko karo nul (rasio goal). Inggih, hakim piye wae ngatasi. Nanging, ing aljabar abstrak ana ing agenda. jumlah non-nolkang kuadrat nol. Malah bisa diterangake kanthi prasaja.
Coba fungsi F sing nggandhengake titik (y, 0) karo titik ing bidang (x, y). Apa F2, sing, eksekusi pindho F? Fungsi nol - saben titik duwe gambar (0,0).
Pungkasan, jumlah non-nol sing kuadrat 0 minangka roti saben dina kanggo fisikawan, lan nomer wangun a + bε, ing ngendi ε ≠ 0, nanging ε.2 = 0, matématikawan nelpon nomer pindho. Iki kedadeyan ing analisis matématika lan geometri diferensial.
Sawise kabeh, ana sing ana ing aritmetika sing divisi kanthi nol ing paling ora jeneng. Asale saka kongruen. Ayo Z nuduhake set integer. Mbagi set Z kanthi p tegese kita padha karo saben nomer (integer) kanggo sawetara liyane, yaiku, sing bedane bisa dibagi. Dadi, nalika kita duwe limang jinis nomer sing cocog karo nomer 0, 1, 2, 3, 4 - sisa sing bisa dipérang dadi 5. Rumus kasebut ditulis kaya mangkene:
mod nalika prabédan punika kaping.
Kanggo = 2, kita mung duwe rong nomer: 0 lan 1. Dibagi integer dadi rong kelas kasebut padha karo dibagi dadi genap lan ganjil. Ayo diganti saiki. Bentenipun tansah bisa dibagi 1 (saben integer bisa dibagi 1). Apa bisa njupuk = 0? Ayo dadi nyoba: nalika prabédan saka rong nomer kaping nul? Mung nalika nomer loro iki padha. Dadi, misahake sakumpulan wilangan bulat kanthi nol, nanging ora menarik: ora ana sing kedadeyan. Nanging, kudu ditekanake yen iki dudu pembagian angka ing pangertene sing dikenal saka sekolah dasar.
Tumindak kasebut mung dilarang, uga matématika sing dawa lan jembar.
Sego. 2. Identifikasi nomer nggunakake comparison
(wit 5 lan wit 2)
